Ponente: David Fernández Duque (ITAM)
Fecha: 24 de noviembre, 12hrs
Lugar: Sala de Investigadores Fernando Salmerón, Instituto de Investigaciones Filosóficas, UNAM
Resumen: Dadas dos teorías formales T y S, hay varios sentidos en que podemos
decir que S es más fuerte que T. La más obvia es que todo teorema de
T también sea teorema de S. Sin embargo, para poder afirmar esto
necesitamos que T y S compartan lenguaje, o al menos el lenguaje de
S contenga al de T. Sin embargo, T y S pueden tener lenguajes muy
distintos, o ser mutuamente inconsistentes, etc. Aún así, existen
herramientas para comparar teorías bajo circunstancias como éstas,
por ejemplo usando nociones de interpretabilidad.
En esta presentación hablaremos de una manera distinta de comparar a
T y a S, la cual bajo condiciones bastante generales nos da un orden
lineal sobre teorías formales. Para ello, únicamente necesitamos que
T y S puedan formalizar un poco de aritmética y sean consistentes.
Para medir el poder de consistencia de T, partimos de una teoría
formal U, nuestra "unidad de consistencia". Normalmente U es una
teoría relativamente débil, posiblemente finitista en el espíritu de
Hilbert. Entonces, si T no demuestra la consistencia de U, el poder
de consistencia de T es 0 (escribiremos |T|=0); si T demuestra
Cons(U) entonces tenemos que |T| es al menos uno, pero puede ser
mayor. Por ejemplo, puede ser que T demuestre Cons(Cons(U)) pero no
demuestre Cons^3(U)=Cons(Cons(Cons(U))), en cuyo caso tendríamos
|T|=2.
En términos generales, |T| no siempre va a ser un número natural,
sino un número ordinal. Entonces, |T| es el mínimo ordinal x tal que
T demuestra Cons^y(U) para todo y<x. Esto nos permite ordenar a
nuestras teorías formales de manera lineal, diciendo que S tiene
mayor poder de consistencia que T si |T|<|S|. El objetivo de esta
plática es explicar con detalle estas nociones y exponer algunos
resultados relevantes. Únicamente supondremos conocimientos
generales de lógica y de los teoremas de incompletud de Gödel,
definiendo las demás nociones formales que se utilicen en la
presentación.
