Ponente: David Fernández Duque (ITAM)
Fecha: 24 de noviembre, 12hrs
Lugar: Sala de Investigadores Fernando Salmerón, Instituto de Investigaciones Filosóficas, UNAM
Resumen: Dadas dos teorías formales T y S, hay varios sentidos en que podemos
decir que S es más fuerte que T. La más obvia es que todo teorema de
T también sea teorema de S. Sin embargo, para poder afirmar esto
necesitamos que T y S compartan lenguaje, o al menos el lenguaje de
S contenga al de T. Sin embargo, T y S pueden tener lenguajes muy
distintos, o ser mutuamente inconsistentes, etc. Aún así, existen
herramientas para comparar teorías bajo circunstancias como éstas,
por ejemplo usando nociones de interpretabilidad.
En esta presentación hablaremos de una manera distinta de comparar a T y a S, la cual bajo condiciones bastante generales nos da un orden lineal sobre teorías formales. Para ello, únicamente necesitamos que T y S puedan formalizar un poco de aritmética y sean consistentes. Para medir el poder de consistencia de T, partimos de una teoría formal U, nuestra "unidad de consistencia". Normalmente U es una teoría relativamente débil, posiblemente finitista en el espíritu de Hilbert. Entonces, si T no demuestra la consistencia de U, el poder de consistencia de T es 0 (escribiremos |T|=0); si T demuestra Cons(U) entonces tenemos que |T| es al menos uno, pero puede ser mayor. Por ejemplo, puede ser que T demuestre Cons(Cons(U)) pero no demuestre Cons^3(U)=Cons(Cons(Cons(U))), en cuyo caso tendríamos |T|=2.
En términos generales, |T| no siempre va a ser un número natural, sino un número ordinal. Entonces, |T| es el mínimo ordinal x tal que T demuestra Cons^y(U) para todo y<x. Esto nos permite ordenar a nuestras teorías formales de manera lineal, diciendo que S tiene mayor poder de consistencia que T si |T|<|S|. El objetivo de esta plática es explicar con detalle estas nociones y exponer algunos resultados relevantes. Únicamente supondremos conocimientos generales de lógica y de los teoremas de incompletud de Gödel, definiendo las demás nociones formales que se utilicen en la presentación.
En esta presentación hablaremos de una manera distinta de comparar a T y a S, la cual bajo condiciones bastante generales nos da un orden lineal sobre teorías formales. Para ello, únicamente necesitamos que T y S puedan formalizar un poco de aritmética y sean consistentes. Para medir el poder de consistencia de T, partimos de una teoría formal U, nuestra "unidad de consistencia". Normalmente U es una teoría relativamente débil, posiblemente finitista en el espíritu de Hilbert. Entonces, si T no demuestra la consistencia de U, el poder de consistencia de T es 0 (escribiremos |T|=0); si T demuestra Cons(U) entonces tenemos que |T| es al menos uno, pero puede ser mayor. Por ejemplo, puede ser que T demuestre Cons(Cons(U)) pero no demuestre Cons^3(U)=Cons(Cons(Cons(U))), en cuyo caso tendríamos |T|=2.
En términos generales, |T| no siempre va a ser un número natural, sino un número ordinal. Entonces, |T| es el mínimo ordinal x tal que T demuestra Cons^y(U) para todo y<x. Esto nos permite ordenar a nuestras teorías formales de manera lineal, diciendo que S tiene mayor poder de consistencia que T si |T|<|S|. El objetivo de esta plática es explicar con detalle estas nociones y exponer algunos resultados relevantes. Únicamente supondremos conocimientos generales de lógica y de los teoremas de incompletud de Gödel, definiendo las demás nociones formales que se utilicen en la presentación.
